题目内容
【题目】有一容积为
的正方体容器
，在棱
、
和面对角线
的中点各有一小孔
、
、
，若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
分别讨论水面过直线
、
、
时从正方体截去的几何体体积的最小值，即可得出此容器可装水的最大容积.
当水面过直线时，如下图所示，
水面截去正方体
所得几何体为三棱柱
，
当点
在水面上方或水面上时，容器中的水不会漏，且当点
与点重合时，截去的几何体体积最小为
；
当水面过直线时，如下图所示，
水面截去正方体所得几何体为三棱台
，
当点
在水面上方或水面上时，容器中的水不会漏，且当点在直线
上时，截去的几何体为三棱柱，且体积最小为；
当水面过直线时，如下图所示，
当点
在水面上方或水面上时，容器中的水不会漏，此时水面截去正方体所得几何体为
，且直线
过点，易知梯形
的面积为正方形
面积的一半，此时，几何体的体积为
.
当与直线
重合时，如下图所示，
此时，点在水面上方，容器不会漏水，水面截去正方体所得几何体为三棱锥
，
该三棱锥的体积为
.
综上可知，水面截去截去正方体所得几何体体积的最小值为
.
因此，该容器可装水的最大容积是
.
故选：C.
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