题目内容

求下列各题的最值.
(1)已知x>0,y>0,lgx+lgy=1,,求z=
2
x
+
5
y
的最小值;
(2)x>0,求f(x)=
12
x
+3x的最小值

(3)x<3,求f(x)=
4
x-3
+x的最大值

(4)x∈R,求f(x)=sin2x+1+
5
sin2x+1
的最小值
分析:(1)由lgx+lgy=1得xy=10,故可用基本不等式.
(2)由x>0,
12
x
•3x=36
是常数,故可直接利用基本不等式
(3)因
4
x-3
•x
不是常数,故需变形.f(x)=
4
x-3
+x-3+3,又x-3<0
,故需变号.
(4)虽然(sin2x+1)•
5
sin2x+1
=5(常数)
,但利用基本不等式时,等号取不到,所以利用函数的单调性.
解答:解:(1)由已知条件lgx+lgy=1,可得xy=10.则
2
x
+
5
y
=
2y+5x
10
2
10xy
10
=2

(
2
x
+
5
y
)min=2
.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.
(2)∵x>0,∴f(x)=
12
x
+3x≥2
12
x
•3x
=12.等号成立的条件是
12
x
=3x,即x=2

∴f(x)的最小值是12
(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0
f(x)=
4
x-3
+x=
4
x-3
+(x-3)+3=-[
4
x-3
+(x-3)]+3≤-2
4
x-3
•(x-3)
+3=-1

当且仅当
4
3-x
=3-x
,即x=1时,等号成立.故f(x)的最大值为-1.
(4)令sin2x+1=t,则t∈[1,2],故g(t)=t+
5
t
.任取t1t2∈[1,2]且t1t2

g(t1)-g(t2)=(t1-t2)-(
5
t1
-
5
t2
)

=(t1-t2)-
5(t1-t2)
t1t2
=(t1-t2)(1-
5
t1t2
)

=(t1-t2)•
t1t2-5
t1t2
.∵t1t2t1t2∈[1,2],

∴t1-t2<0,t1t2-5<0,故g(t1)-g(t2)>0,∴g(t1)>g(t2),
∴g(t)在[1,2]上是减函数,∴g(t)min=g(2)=2+
5
2
=
9
2
,∴f(x)min=
9
2

等号成立的条件是sin2x+1=2.sin2x=1,sin2x=±1,
∴x=kπ+
π
2
(k∈Z)

故f(x)的最小值是
9
2
点评:本题主要考查了基本不等式.在使用均值不等式时,要注意等号成立的条件.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网