题目内容
求下列各题的最值.(1)已知x>0,y>0,lgx+lgy=1,,求z=
2 |
x |
5 |
y |
(2)x>0,求f(x)=
12 |
x |
(3)x<3,求f(x)=
4 |
x-3 |
(4)x∈R,求f(x)=sin2x+1+
5 |
sin2x+1 |
分析:(1)由lgx+lgy=1得xy=10,故可用基本不等式.
(2)由x>0,
•3x=36是常数,故可直接利用基本不等式
(3)因
•x不是常数,故需变形.f(x)=
+x-3+3,又x-3<0,故需变号.
(4)虽然(sin2x+1)•
=5(常数),但利用基本不等式时,等号取不到,所以利用函数的单调性.
(2)由x>0,
12 |
x |
(3)因
4 |
x-3 |
4 |
x-3 |
(4)虽然(sin2x+1)•
5 |
sin2x+1 |
解答:解:(1)由已知条件lgx+lgy=1,可得xy=10.则
+
=
≥
=2.
∴(
+
)min=2.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.
(2)∵x>0,∴f(x)=
+3x≥2
=12.等号成立的条件是
=3x,即x=2,
∴f(x)的最小值是12
(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0
∴f(x)=
+x=
+(x-3)+3=-[
+(x-3)]+3≤-2
+3=-1,
当且仅当
=3-x,即x=1时,等号成立.故f(x)的最大值为-1.
(4)令sin2x+1=t,则t∈[1,2],故g(t)=t+
.任取t1,t2∈[1,2]且t1<t2,
则g(t1)-g(t2)=(t1-t2)-(
-
)
=(t1-t2)-
=(t1-t2)(1-
)
=(t1-t2)•
.∵t1<t2且t1,t2∈[1,2],
∴t1-t2<0,t1t2-5<0,故g(t1)-g(t2)>0,∴g(t1)>g(t2),
∴g(t)在[1,2]上是减函数,∴g(t)min=g(2)=2+
=
,∴f(x)min=
,
等号成立的条件是sin2x+1=2.sin2x=1,sin2x=±1,
∴x=kπ+
(k∈Z)
故f(x)的最小值是
.
2 |
x |
5 |
y |
2y+5x |
10 |
2
| ||
10 |
∴(
2 |
x |
5 |
y |
(2)∵x>0,∴f(x)=
12 |
x |
|
12 |
x |
∴f(x)的最小值是12
(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0
∴f(x)=
4 |
x-3 |
4 |
x-3 |
4 |
x-3 |
|
当且仅当
4 |
3-x |
(4)令sin2x+1=t,则t∈[1,2],故g(t)=t+
5 |
t |
则g(t1)-g(t2)=(t1-t2)-(
5 |
t1 |
5 |
t2 |
=(t1-t2)-
5(t1-t2) |
t1t2 |
5 |
t1t2 |
=(t1-t2)•
t1t2-5 |
t1t2 |
∴t1-t2<0,t1t2-5<0,故g(t1)-g(t2)>0,∴g(t1)>g(t2),
∴g(t)在[1,2]上是减函数,∴g(t)min=g(2)=2+
5 |
2 |
9 |
2 |
9 |
2 |
等号成立的条件是sin2x+1=2.sin2x=1,sin2x=±1,
∴x=kπ+
π |
2 |
故f(x)的最小值是
9 |
2 |
点评:本题主要考查了基本不等式.在使用均值不等式时,要注意等号成立的条件.
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