题目内容
解答下列各题:
(1)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求扇形圆心角的弧度数.
(2)已知一扇形的圆心角是72°,半径等于20cm,求扇形的面积.
(3)已知一扇形的周长为40cm,求它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
【答案】
(1) (2) 80π(3) 2, 最大值为100cm2
【解析】(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<
2π),弧长为l,半径为r,
依题意有
①代入②得r2-5r+4=0,解之得r1=1,r2=4.
当r=1时,l=8(cm),此时,θ=8rad>2πrad舍去.
当r=4时,l=2(cm),此时,θ==rad.
(2)设扇形弧长为l,∵72°=72×= (rad),
∴l=αR=×20=8π(cm).
∴S=lR=×8π×20=80π(cm2).
(3)设扇形的圆心角为θ,半径为r,弧长为l,面积为S,则l+2r=40,
∴l=40-2r,∴S=lr=×(40-2r)r=(20-r)r=-(r-10)2+100.
∴当半径r=10cm时,扇形的面积最大.
这个最大值为100cm2,这时θ===2rad.
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