Question

数列{a_n}是首项为23，第6项为3的等差数列，请回答下列各题：
（Ⅰ）求此等差数列的公差d；
（Ⅱ）设此等差数列的前n项和为S_n，求S_n的最大值；
（Ⅲ）当S_n是正数时，求n的最大值．

Answer 1

分析：（1）直接利用等差数列的通项公式求公差；
（2）写出等差数列的前n项和，利用二次函数的知识求最值；
（3）由S_n＞0，且n∈N^*列不等式求解n的值．

解答：解：（Ⅰ）由a₁=23，a₆=3，所以等差数列的公差d=

a6-a1

6-1

=

3-23

5

=-4；
（Ⅱ）Sn=na1+

n(n-1)d

2

=23n+

n(n-1)(-4)

2

=-2n2+25n，
因为n∈N^*，所以当n=6时S_n有最大值为78；
（Ⅲ）由Sn=-2n2+25n＞0，解得0＜n＜

25

2

．
因为n∈N^*，所以n的最大值为12．

点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题．