Question

9．如果方程cos2x+sinx=1+a有解，则a的取值范围是[-3，$\frac{1}{8}$]．

Answer 1

分析 利用二倍角余弦公式展开，分离a，利用配方法求得三角函数的值域得答案．

解答 解：由cos2x+sinx=1+a，得1-2sin²x+sinx=1+a，即a=-2sin²x+sinx=$-2（sinx-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$．
∵-1≤sinx≤1，∴$-3≤-2（sinx-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}≤\frac{1}{8}$．
即a的取值范围是[-3，$\frac{1}{8}$]．
故答案为：[-3，$\frac{1}{8}$]．

点评 本题考查三角函数的最值，考查利用配方法求二次函数的最值，是基础题．