题目内容
已知四棱锥
的三视图和直观图如下图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.
是侧棱
上的动点．
(1)求证：
；
(2)若为的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
（1）参考解析；（2）
；（3）
解析试题分析：（1）要证明，要转到线面垂直，通过观察需证明
平面
.所以要证明
垂直于平面两条相交直线，显然
，
.从而可得结论.
（2）要求直线与平面所成角的正弦值，需要找到直线与平面所成的角.通过证明平面
平面.即可得到点E到平面的投影在PO（O是AC与BD的交点）上.这样就可以求出直线与平面所成的角，再通运算即可求出结论.本小题也可已建立空间坐标系来求.
（3）若四点
在同一球面上，求该球的体积.依题意可得.只要把图形补齐为一个长方体.外接球的直径就是长方体的对角线长.即可求结论.
试题解析：（1）证明：由已知
,
又因为
， 
(2)解法一：连AC交BD于点O，连PO，由(1)知
则
，
为与平面所成的角. 
,
则
法二：空间直角坐标法，略.
(3)解：以正方形
为底面，为高补成长方体，此时对角线
的长为球的直径，
,
.
考点：1.线线垂直.2.线面所成的角.3.割补思想.
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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的边长为2，
为正三角形，现将
向上折起，折起后的点
记为
，且
，连接
．
为
平面
；
的体积．
中，底面
是菱形，
，
，
,
,
,
是
的中点，
上的点
满足
．
平面
；
的体积．
中，截下一个棱锥
，求棱锥
B'D；
的球内有一个内接正方体（即正方体的顶点都在球面上）.
CD=2,点M在线段EC上.
面
;
时，求三棱锥M-BDE的体积.
，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.
，在直角梯形
中，
，
∥
，
，
，将
沿
折起，使平面
平面
，得到几何体
，如图2所示．
平面
；