题目内容

已知四棱锥的三视图和直观图如下图所示,其中正视图、侧视图是直角三角形,俯视图是有一条对角线的正方形.是侧棱上的动点.

(1)求证:
(2)若的中点,求直线与平面所成角的正弦值.

(1)参考解析;(2);(3)

解析试题分析:(1)要证明,要转到线面垂直,通过观察需证明平面.所以要证明垂直于平面两条相交直线,显然.从而可得结论.
(2)要求直线与平面所成角的正弦值,需要找到直线与平面所成的角.通过证明平面平面.即可得到点E到平面的投影在PO(O是AC与BD的交点)上.这样就可以求出直线与平面所成的角,再通运算即可求出结论.本小题也可已建立空间坐标系来求.
(3)若四点在同一球面上,求该球的体积.依题意可得.只要把图形补齐为一个长方体.外接球的直径就是长方体的对角线长.即可求结论.
试题解析:(1)证明:由已知

,
又因为
(2)解法一:连AC交BD于点O,连PO,由(1)知
与平面所成的角.
,
法二:空间直角坐标法,略.
(3)解:以正方形为底面,为高补成长方体,此时对角线的长为球的直径,
,
考点:1.线线垂直.2.线面所成的角.3.割补思想.

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