Question

已知函数f(x)=x³+mx²+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g(x)=f′(x)+6x是偶函数.
(Ⅰ)求m、n的值；(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.

Answer 1

解：(Ⅰ)由函数f(x)图象过点（-1，-6）,得m-n=-3,①………………1分
由f(x)=x³+mx²+nx-2，得f′(x)=3x²+2mx+n,………………………………………2分
则g(x)=f′(x)+6x=3x²+(6+2m)x+n;
而g(x)图象关于y轴对称，所以-=0，所以m=-3,
代入①得n=0.………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由(Ⅰ)得f′(x)=3x(x-2),
令f′(x)=0得x=0或x=2.…………………………………………………………5分
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

由此可得:
当0＜a＜1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值;
当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;
当1＜a＜3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值;
当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.…………………………………………11分
综上得：当0＜a＜1时，f(x)有极大值-2，无极小值，当1＜a＜3时，有极小值-6，无极大值，当a=1或a≥3时，f(x)无极值.…………………………………………12分

略