Question

设函数f(x)=

2x-b

(x-1)2

，已知此函数的图象在x=2处的切线的斜率为2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[2，4]，求函数的值域；
（3）设a≤

1

2

，函数g（x）=x²-8ax-2a，x∈[2，4]．若对于任意的x₁∈[2，4]，总存在x₀∈[2，4]使得g（x₀）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）图象在x=2处的切线的斜率为2，求导，令f′（2）=2，求得b的值，从而求得函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在（2，4）上的极值，再与f（2）、f（4）比较大小，求得函数的值域；（3）由对于任意的x₁∈[2，4]，总存在x₀∈[2，4]使得g（x₀）=f（x₁）成立，函数g（x）在区间[2，4]上的最大值不小于函数f（x）的最大值，函数g（x）在区间[2，4]上最小值不小于函数f（x）的最小值，转化为求函数g（x）的最值问题．

解答：解：（1）f′(x)=

-2x2+2bx-2b+2

(x-1)4

∵f′（2）=2   
∴b=4   f(x)=

2x-4

(x-1)2

（2）f′(x)=

-2x2+8x-6

(x-1)4

=0
即：-2x²+8x-6=0且x≠1
解得：x=3，x=1（舍）

f（x）最大值：f(3)=

1

2

f（x）最小值：比较f（2）=0，f（4）=

4

9

，所以最小值为f（2）=0；
（3）g（x）=x²-8ax-2a=（x-4a）²-16a²-2a
∵a≤

1

2

，x∈[2，4]．
∴g（x）_min=g（2）=4-18a，
g（x）_max=g（4）=16-34a，
∵对于任意的x₁∈[2，4]，总存在x₀∈[2，4]使得g（x₀）=f（x₁）成立，
∴

16-34a≥ 1 2 4-18a≤0

，解得

2

9

≤a≤

31

68

．
∴a的取值范围是

2

9

≤a≤

31

68

．

点评：考查导数的几何意义，和利用导数研究函数的极值、最值问题，特别是（3）的设问方式，增加了题目的难度，体现了转化的思想方法，属难题．