Question

11．某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=$\sqrt{2px}$（p＞0，1≤x≤16，x∈N^*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y=10$\sqrt{x}$（1≤x≤16，x∈N^*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；
（2）由题意0≤mx-x-10$\sqrt{x}$+10≤30（1≤x≤16，x∈N^*），分离参数求最值，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，20=$\sqrt{2p•4}$，∴2p=100，
∴y=10$\sqrt{x}$（1≤x≤16，x∈N^*），
∴油库内储油量M=mx-x-10$\sqrt{x}$+10（1≤x≤16，x∈N^*）；
（2）∴0≤M≤30，
∴0≤mx-x-10$\sqrt{x}$+10≤30（1≤x≤16，x∈N^*），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥-\frac{10}{x}+\frac{10}{\sqrt{x}}+1}\\{m≤\frac{20}{x}+\frac{10}{\sqrt{x}}+1}\end{array}\right.$（1≤x≤16，x∈N^*）恒成立．；
设$\frac{1}{\sqrt{x}}$=t，则$\frac{1}{4}$≤t≤1，$\left\{\begin{array}{l}{m≥-10{t}^{2}+10t+1}\\{m≤20{t}^{2}+10t+1}\end{array}\right.$．
由$-10{t}^{2}+10t+1=-10（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{2}$≤$\frac{7}{2}$（x=4时取等号），可得m≥$\frac{7}{2}$，
由20t²+10t+1=$20（t+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{4}$≥$\frac{19}{4}$（x-16时取等号），可得m≤$\frac{19}{4}$，
∴$\frac{7}{2}$≤m≤$\frac{19}{4}$．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，确定函数解析式，正确分离参数求最值是关键．