Question

提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流
速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x≤200时，车流速度v与车流密度x满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．                  
（Ⅰ）当0<x≤200时，求函数v(x)的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：
辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据）

Answer 1

(1) ．
(2)当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/千米时。

解析试题分析：(1) 由题意：当0＜x≤50时，v(x)＝30；
当50≤x≤200时，由于，
再由已知可知，当x＝200时，v(0)＝0，代入解得k＝2000.
故函数v(x)的表达式为． 6分
(2) 依题意并由(1)可得，
当0≤x≤50时，f(x)＝30x，当x＝50时取最大值1500. 　 当50<x≤200时，

取等号当且仅当，即时，f(x)取最大值．
（这里也可利用求导来求最大值）
综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/千米时。
考点：本题主要考查分段函数的概念，利用均值定理求函数的最值。
点评：中档题，作为函数的应用问题，确定函数解析式是其一个基本要求，在此基础上，进一步研究函数的图象和性质，确定最值，往往可以应用导数或“均值定理”。应用“均值定理”，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。