Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB
（I）求证：AD⊥B₁D；
（II）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（III）求二面角B-AB₁-D的大小．

Answer 1

分析：方法一：
（1）在正三棱柱中，易证明BB₁⊥平面ABC及AD⊥BD，根据三垂线定理可知：AD⊥B₁D
（2）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面AB₁D里面找到一条直线与A₁C平行即可，因为D为BC中点，所以构造平行线的时候可以考虑一下构造“中位线”，连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE，所以DE∥A₁C．
（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．在面ABC内作DF⊥AB于点F，由平面A₁ABB₁⊥平面ABC可知：DF⊥平面A₁ABB₁
方法二：
因为DC、DA及三棱柱为正三棱柱可知，我们可以建立空间直角坐标系D-xyz，这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．

解答：解：法一（Ⅰ）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC，
∴BD是B₁D在平面ABC上的射影
在正△ABC中，∵D是BC的中点，
∴AD⊥BD，
根据三垂线定理得，AD⊥B₁D．

（Ⅱ）解：连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．
∵AA₁=AB∴四边形A₁ABB₁是正方形，
∴E是A₁B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A₁C．（7分）
∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．（9分）
（Ⅲ）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接DG．
∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，∴DF⊥平面A₁ABB₁，
∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，∵FG⊥AB₁，∴DG⊥AB₁
∴∠FGD是二面角B-AB₁-D的平面角（12分）
设A₁A=AB=1，在正△ABC中，DF=

3

4

．
在△ABE中，FG=

3

4

•BE=

3 2

8

，
在Rt△DFG中，tanFGD=

DF

FG

=

6

3

，
所以，二面角B-AB₁-D的大小为arctan

6

3

．（14分）

解法二：
建立空间直角坐标系D-xyz，如图，
则D(0，0，0)，A(0，

3

2

，0)，B1(-

1

2

，0，1)．
证明：∵

AD

=(0，

3

2

，0)，

B1D

=(-

1

2

，0，-1)，
∴

AD

•

B1D

=0∴

AD

⊥

B1D

即AD⊥B₁D（4分）

（Ⅱ）解：连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．
∵A1(0，

3

2

，1)，E(-

1

4

，

3

4

，

1

2

)，C(

1

2

，0，0)．
∴

A1C

=(

1

2

，-

3

2

，-1)，

DE

=(-

1

4

，

3

4

，

1

2

)，
∴

A1C

=-2

DE

，∴A1C∥DE．（7分）
∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D．（9分）
（Ⅲ）设n₁=（p，q，r）是平面AB₁D的法向量，则n1•

AD

=0，且n1•

B1D

=0，
故-

3

2

q=0，

1

2

p-r=0．取r=1，得n1=(2，0，1)；
同理，可求得平面AB₁B的法向量是n2=(

3

，-1，0)．（12分）
设二面角B-AB₁-D的大小θ，∵cosθ=

n1•n2

|n1||n2|

=

15

5

，
∴二面角B-AB₁-D的大小为arccos

15

5

．（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力