Question

【题目】已知函数f（x）=lnax﹣ （a≠0）．
（1）求此函数的单调区间及最值；
（2）求证：对于任意正整数n，均有1+ + …+ ≥ln （e为自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得 f′（x）= ，

∴当a＞0时，令f′（x）=0，求得x=a，

由ax＞0，求得x＞0，函数的定义域为（0，+∞），

此时函数在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，

故函数f（x）的极小值为f（a）=lna2，无最大值．

当a＜0时，由ax＞0，求得x＜0，可得函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），

此时函数（﹣∞，a）上，f′（x）= ＜0，f（x）是减函数；在（a，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，

故函数f（x）的极小值为f（a）=lna2，无最大值

（2）证明：取a=1，由（1）知 f（x）=lnx﹣ ≥f（1）=0，∴ ≥1﹣lnx=ln ，

取x=1，2，3…，n，则 1+ + …+ ≥ln +ln +ln +…+ln =ln ，

故要征得不等式1+ + …+ ≥ln 成立

【解析】（1）先求出函数的导数，分类讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求得函数的极值．（2）取a=1，由（1）知 f（x）=lnx﹣ ≥0，即 ≥1﹣lnx=ln ，取x=1，2，3…，n，累加可得要征的结论．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．