题目内容

已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并证明.

（1）；（2）减函数，证明详见解析；

解析试题分析：（1）因为是奇函数，且定义域为，可由和列式求出的值，但要注意和只是本题中的是奇函数的必要条件，然后还要验证充分性；（2）判断函数的单调性在解答题中一般利用增函数或减函数的定义，或利用导函数的符号判断.
试题解析：（1）因为是奇函数，且定义域为，所以，     2分
所以，所以                           4分
又，知
经验证，当时，是奇函数，所以                 7分
（2）函数在上为减函数                            9分
证明：法一：由（1）知，
令，则，                         12分
，
即，函数在上为减函数                    14分
法二：由（1）知，
，                            12分
，
即函数在上为减函数．                           14分
考点：函数的奇偶性、函数的单调性.

练习册系列答案
相关题目

设，当时，对应值的集合为.
（1）求的值；（2）若，求该函数的最值.

设，
（1）若的图像关于对称，且，求的解析式；
（2）对于（1）中的，讨论与的图像的交点个数.

已知函数的定义域为.
⑴求的取值范围；
⑵当取最大值时，解关于的不等式.

已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设是曲线上除原点外的任意一点,过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点,试问：是否存在这样的点,使得曲线在点处的切线与平行？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由；
（Ⅲ）设函数,若对于任意,总存在,使得,求实数的取值范围.

已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）若，，求实数的取值范围．

（本小题满分13分）已知函数（）在区间上有最大值和最小值．设．
(1）求、的值；
(2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.

对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

已知函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围；
（3）设正实数满足．求证：
．

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