题目内容

3.已知向量$\overrightarrow{m}$=(a,b),$\overrightarrow{n}$(c,d),$\overrightarrow{p}$=(x,y)定义新运算$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{n}$=(ac+bd,ad+bc),其中等式右边是通常的加法和乘法运算.如果对于任意向量$\overrightarrow m$总有$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{m}$成立,则向量$\overrightarrow p$=(1,0).

分析 利用新定义列出方程组,由此求得向量$\overrightarrow p$的坐标.

解答 解:因为$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{m}$,(a,b)?(x,y)=(ax+by,ay+bx)=(a,b),
∴$\left\{\begin{array}{l}ax+by=a\\ ay+bx=b\end{array}\right.$,即 $\left\{\begin{array}{l}a(x-1)+by=0\\ ay+b(x-1)=0\end{array}\right.$.
由于对于任意向量$\overrightarrow m$总有$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{m}$成立,
即对任意a、b都有(a,b)*(x,y)=(a,b)成立,
所以$\left\{\begin{array}{l}x-1=0\\ y=0\end{array}\right.$,∴$\overrightarrow{p}$=(1,0),
故答案为:(1,0).

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算,恒成立问题,属于基础题.

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