题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，四边形
为菱形，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，则异面直线AB与
所成角的余弦值为_______.
【答案】
【解析】
由于
，所以
或其补角为异面直线AB与
所成的角，取AC的中点D，再结合已知可得
，再.取
的中点E，可证得
，从而可求出
，在
中利用余弦定理可得的余弦值，也可建空间直角坐标系，利用空间向量求解.
解法一：在三棱柱
中，，所以或其补角为异面直线AB与所成的角.取AC的中点D，连接
，BD，因为
为等腰直角三角形，D是AC的中点，所以
，又
，所以
.因为四边形
为菱形，
，所以
，
.在
中，
，，
，所以
，即.又
，所以
平面ABC.取的中点E，连接
，CE，易知
，
，所以四边形
为平行四边形，所以
，所以
平面ABC，即平面
，又
平面，所以.连接
，在
中，
，
，所以，在中，
，
，，由余弦定理得
，所以异面直线AB与所成角的余弦值为.
解法二：取AC的中点D，连接，BD，因为为等腰直角三角形，，D是AC的中点，所以，.又四边形
为菱形，，所以，.在中，，，，所以，即.又，所以平面ABC，所以以D为坐标原点，以DB，DC，
所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，所以
，
，所以
，所以异面直线AB与所成角的余弦值为.
故答案为：
口算小状元口算速算天天练系列答案
【题目】随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每个人每日健步的步数，从而为科学健身提供一定的帮助.某市工会为了解该市市民每日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了2000名市民（其中不超过40岁的市民恰好有1000名），利用手机计步软件统计了他们某天健步的步数，并将样本数据分为
，
，
，
，
，
，
，
，
九组（单位：千步），将抽取的不超过40岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图如右，将40岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.
分组 （单位：千步） |
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频数 | 10 | 20 | 20 | 30 | 400 | 200 | 200 | 100 | 20 |
（1）现规定，日健步步数不低于13000步的为“健步达人”，填写下面列联表，并根据列联表判断能否有
％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关；
健步达人 | 非健步达人 | 总计 | |
40岁以上的市民 | |||
不超过40岁的市民 | |||
总计 |
（2）（ⅰ）利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民日健步步数（单位：千步）的平均数和中位数；
（ⅱ）由频率分布直方图可以认为，不超过40岁的市民日健步步数
（单位：千步）近似地服从正态分布
，其中
近似为样本平均数
（每组数据取区间的中点值），
的值已求出约为
.现从该市不超过40岁的市民中随机抽取5人，记其中日健步步数位于
的人数为
，求的数学期望.
参考公式：
，其中
.
参考数据：
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若
，则
，
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