题目内容
【题目】【广东省佛山市2017届高三4月教学质量检测(二)数学文】已知椭圆:
(
)的焦距为4,左、右焦点分别为
、
,且
与抛物线
:
的交点所在的直线经过
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过的直线
与
交于
,
两点,与抛物线
无公共点,求
的面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(1)先根据焦距确定焦点坐标,再根据对称性得与抛物线
:
的交点所在的直线为
,即得一个交点为
,代入椭圆方程,结合
可解得
,
;(2)先设直线
:
,由直线
与抛物线
无公共点,利用判别式小于零得
.由弦长公式可求底边AB长,利用点
到直线
距离可得高,代入面积公式可得
,根据对勾函数确定其值域.
试题解析:(Ⅰ)依题意得,则
,
.
所以椭圆与抛物线
的一个交点为
,
于是
,从而
.
又,解得
所以椭圆的方程为
.
(Ⅱ)依题意,直线的斜率不为0,设直线
:
,
由,消去
整理得
,由
得
.
由,消去
整理得
,
设,
,则
,
,
所以
,
到直线
距离
,
故
,
令,则
,
所以三边形的面积的取值范围为
.
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