题目内容
(2011•孝感模拟)已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,向量
与向量
的夹角为
,且
在
上的投影的大小恰为|
|,则椭圆的离心率为( )
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
F1F2 |
F1P |
π |
6 |
F1F2 |
F1P |
F1P |
分析:先根据
在
上的投影的大小恰好为 |
|判断两向量互相垂直得到直角三角形,进而根据直角三角形中内角为
,结合双曲线的定义建立等式求得a和c的关系式,最后根据离心率公式求得离心率e.
F1F2 |
F1P |
F1P |
π |
6 |
解答:解:∵
在
上的投影的大小恰好为 |
|,
∴PF1⊥PF2,
又因为它们的夹角为
,
所以∠PF1F2=
,
所以在直角三角形PF1F2中,F1F2=2c,
所以PF2=c,PF1=
c
又根据椭圆的定义得:PF1+PF2=2a,
∴
c+c=2a,
∴
=
-1,
所以e=
-1.
故选A.
F1F2 |
F1P |
F1P |
∴PF1⊥PF2,
又因为它们的夹角为
π |
6 |
所以∠PF1F2=
π |
6 |
所以在直角三角形PF1F2中,F1F2=2c,
所以PF2=c,PF1=
3 |
又根据椭圆的定义得:PF1+PF2=2a,
∴
3 |
∴
c |
a |
3 |
所以e=
3 |
故选A.
点评:本题主要考查了椭圆的简单性质,同时考查了学生综合分析问题和运算的能力,解答关键是通过解三角形求得a,c的关系从而求出离心率.
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