题目内容

(2011•孝感模拟)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,向量
F1F2
与向量
F1P
的夹角为
π
6
,且
F1F2
F1P
上的投影的大小恰为|
F1P
|,则椭圆的离心率为(  )
分析:先根据
F1F2
F1P
上的投影的大小恰好为 |
F1P
|
判断两向量互相垂直得到直角三角形,进而根据直角三角形中内角为
π
6
,结合双曲线的定义建立等式求得a和c的关系式,最后根据离心率公式求得离心率e.
解答:解:∵
F1F2
F1P
上的投影的大小恰好为 |
F1P
|

∴PF1⊥PF2
又因为它们的夹角为
π
6

所以∠PF1F2=
π
6

所以在直角三角形PF1F2中,F1F2=2c,
所以PF2=c,PF1=
3
c

又根据椭圆的定义得:PF1+PF2=2a,
3
c+c=2a,
c
a
=
3
-1

所以e=
3
-1

故选A.
点评:本题主要考查了椭圆的简单性质,同时考查了学生综合分析问题和运算的能力,解答关键是通过解三角形求得a,c的关系从而求出离心率.
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