Question

（2011•孝感模拟）已知一动圆M恒过点F（1，0），且总与直线x=-1相切．
（I）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线l与曲线C交于A，B两点，且直线l与x轴交于点E．设

PA

=λ

AE

，

PB

=μ

BE

，试问λ+μ是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由动圆M过点F（1，0），与直线l：x=-1相切，知圆心M到F的距离等于到直线l的距离，故点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，由此能求出动圆圆心M的轨迹C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2（k≠0），由

y=kx+2 y2=4x

，得k²x²+（4k-4）x+4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（-

2

k

，0），则x1+x2=-

4k-4

k2

，x1x2=

4

k2

，由此能求出λ+μ为定值．

解答：解：（I）∵动圆M过点F（1，0），
且与直线l：x=-1相切，
∴圆心M到F的距离等于到直线l的距离，
∴点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，
且

p

2

=1，p=2，
∴所求的轨迹方程为y²=4x．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2（k≠0），
联立方程，得

y=kx+2 y2=4x

，
消去y，得k²x²+（4k-4）x+4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（-

2

k

，0），
则x1+x2=-

4k-4

k2

，x1x2=

4

k2

，

PA

=(x1，y1-2)，

PB

=(x2，y2-2)，

AE

=(-

2

k

-x1，-y1)，

BE

=(-

2

k

-x2，-y2)，
∴（x₁，y₁-2）=λ（-

2

k

-x1，-y₁），
（x₂，y₂-2）=μ（-

2

k

-x₂，-y₂），
得λ=

-kx1

kx1+2

，μ=

-kx2

kx2+2

，
则λ+μ=

-2k2x1x2-2k(x1+x2)

k2x1x2+2k(x1+x2)+4

，
把x1+x2=-

4k-4

k2

，x1x2=

4

k2

代入，得λ+μ=-1，
即λ+μ为定值-1．

点评：本题考查轨迹方程的求法和直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．