题目内容

【题目】若无穷数列满足:只要,必有,则称具有性质.

1)若具有性质,且,求

2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是等比数列,,,.判断是否具有性质,并说明理由;

3)设是无穷数列,已知.求证:“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

【答案】(1)(2)不具有性质,详见解析(3)证明见解析

【解析】

1)根据具有性质,,可得,又因为,,,则,代入数据即可得结果.

2,得出的公差和的公比,即可设的通项公式,得出.因为,,,得出,所以不具有性质.

3)先证充分性:当为常数列时,.对任意给定的,只要,则由,必有.充分性得证.

再证必要性:用反证法证明.假设不是常数列,则存在,使得,.证明存在满足,使得,.,,使得,再根据条件类推,得出不具有性质,矛盾.必要性得证即可得出结论.

解:(1)因为,所以,,,.

所以,又因为,解得

2的公差为,所以,

的公比为,所以

所以.

所以,,,因为,

所以不具有性质.

3)证明充分性:

为常数列时,.

对任意给定的,只要,则由,必有.

充分性得证.

证明必要性:用反证法证明.假设不是常数列,则存在,

使得,.

下面证明存在满足,使得,.

,,使得,

,,故存在使得.

,因为,所以,

依此类推,.

,.

所以不具有性质,矛盾.必要性得证.

综上,“对任意,都具有性质的充要条件为是常数列

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