题目内容
【题目】已知函数f(x)= +
.
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)设F(x)= [f2(x)﹣2]+f(x)(a为实数),求F(x)在a<0时的最大值g(a);
(3)对(2)中g(a),若﹣m2+2tm+ ≤g(a)对a<0所有的实数a及t∈[﹣1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:由1+x≥0且1﹣x≥0,得﹣1≤x≤1,
所以函数的定义域为[﹣1,1],
又[f(x)]2=2+2 ∈[2,4],由f(x)≥0,得f(x)∈[
,2],
所以函数值域为[ ,2]
(2)解:因为F(x)= =a
+
+
,
令t=f(x)= +
,则
=
﹣1,
∴F(x)=m(t)=a( ﹣1)+t=
,t∈[
,2],
由题意知g(a)即为函数m(t)= ,t∈[
,2]的最大值.
注意到直线t=﹣ 是抛物线m(t)=
的对称轴.
因为a<0时,函数y=m(t),t∈[ ,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,
①若t=﹣ ∈(0,
],即a≤﹣
,则g(a)=m(
)=
;
②若t=﹣ ∈(
,2],即﹣
<a≤﹣
,则g(a)=m(﹣
)=﹣a﹣
;
③若t=﹣ ∈(2,+∞),即﹣
<a<0,则g(a)=m(2)=a+2,
综上有g(a)=
(3)解:易得 ,
由﹣ ≤g(a)对a<0恒成立,即要使﹣
≤gmin(a)=
恒成立,
m2﹣2tm≥0,令h(t)=﹣2mt+m2,对所有的t∈[﹣1,1],h(t)≥0成立,
只需 ,
解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0,或m≥2
【解析】(1)由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域,先求[f(x)]2的值域,再求f(x)的值域;(2)F(x)=a +
+
,令t=f(x)=
+
,则
=
﹣1,由此可转化为关于t的二次函数,按照对称轴t=﹣
与t的范围[
,2]的位置关系分三种情况讨论,借助单调性即可求得其最大值;(3)先由(2)求出函数g(x)的最小值,﹣
≤g(a)对a<0恒成立,即要使﹣
≤gmin(a)恒成立,从而转化为关于t的一次不等式,再根据一次函数的单调性可得不等式组,解出即可.
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