题目内容
【题目】已知函数,
,其中
…是然对数底数.
(1)若函数有两个不同的极值点
,
,求实数
的取值范围;
(2)当时,求使不等式
在一切实数上恒成立的最大正整数
.
【答案】(1);(2)14
【解析】试题分析:(1)函数有两个不同的极值点
,
得,
有两个不同的根
,对
分类讨论:当
时,可得
在
上递减,不合题意,
,函数
在
上递减,在
上递增,只需
,解出即可得出结果;(2)当
时,由题意可得:不等式
对题意
恒成立,令
,令
得
,利用单调性可得
,整理得
,再研究其单调性即可得出.
试题解析:(1)f′(x)=λex﹣2x,据题意得f′(x)=λex﹣2x=0有两个不同的根x1,x2,当λ≤0时,f′(x)=λex﹣2x≤0,因此f(x)在R上递减,不合题意,∴λ>0,又f″(x)=λex﹣2,令f″(x)=0,解得,∴函数f′(x)=λex﹣2x在
上递减,在
上递增,∴f′(x)=λex﹣2x=0有两个不同的根,则
,即
,
,解得
.
(2)当λ=1时,求使不等式f(x)>g(x)在一切实数上恒成立,即不等式对任意x恒成立,令
,∴
,令h′(x)=0得
,∴函数h(x)在
上递减,在
上递增,∴
,整理得
.令
,易得(μ)在(2,+∞)上递减,若μ=2e2∈(14,15),(2e2)=15﹣2e2>0,若μ=15,
,所以满足条件的最大整数μ=14.
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