Question

19．设S为满足下列条件的有理数的集合：
①若a∈S，b∈S，则a+b∈S，ab∈S；
②对任一个有理数r，三个关系r∈S，-r∈S，r=0有且仅有一个成立．
证明：S是由全体正有理数组成的集合．

Answer 1

分析 结合有理数的定义分别判断全体正整数都属于S，全体正分数都属于S，从而证出结论．

解答 证明：设任意的r∈Q，r≠0，由②知r∈S，或，-r∈S之一成立，
再由①，若r∈S，则r²∈S；若-r∈S，
则r²=（-r）•（-r）∈S，
总之，r²∈S，
取r=1，则1∈S．再由①，2=1+1∈S，3=1+2∈S，…，可知全体正整数都属于S，
设p、q∈S，由①pq∈S，又由前证知$\frac{1}{{q}^{2}}$∈S，
所以$\frac{p}{q}$=pq•$\frac{1}{{q}^{2}}$∈S，
因此，S含有全体正有理数，
再由①知，0及全体负有理数不属于S，
即S是由全体正有理数组成的集合．

点评 本题考查了运算和集合的关系，考查有理数的定义，是一道基础题．