题目内容
【题目】对于函数,若在定义域存在实数
,满足
,则称
为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数(
),试判断
是否为“局部奇函数”?并说明理由;
(2)设是定义在
上的“局部奇函数”,求实数
的取值范围;
(3)若
为其定义域上的“局部奇函数”,求实数
的取值范围.
【答案】(1)是 ,理由见解析(2)(3)
【解析】
(1) 根据“局部奇函数"的定义,只要判断条件是否成立即可得到结论(2)根据“局部奇函数的定义,解方程
,即可得到结论(3)将问题转化为方程
有不小于2的根,
有不大于
的根两种情况,结合二次方程根的分布,从而求出m的范围.
(1)为“局部奇函数”等价于关于
的方程
有解.
即,
有解,
为“局部奇函数”.
(2)当时,
可转化为
,
的定义域为
,
,
方程
在
,
上有解,
令,
则.
在
上递减,在
上递增,
,
,
即.
(3)当时,
,
,
由有解,
得,
有解,
即,
有解,
令,
由二方程根的分布可知,即可,
解得,
当时,
,
,无解.
当时,则
,
,
由有解,
得,
有解,
即,
有解,
令,
由二次方程根的分布可知,即可,
解得,
综上,实数的取值范围
.
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