Question

（本小题满分14分）

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点（－1，），过点P（2，1）的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求直线l的方程以及点M的坐标；

（3）是否存在过点P的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足·=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

⑴椭圆C的方程为；

⑵切点M的坐标为(1，). ⑶存在直线l₁满足条件，其方程为y=x

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

（1）利用椭圆的性质得到关于a,b,c的关系得到椭圆的方程。

（2）设出直线方程与椭圆的方程联立方程组，结合韦达定理，以及向量的数量积的公式得到参数k的表达式，借助判别式大于零得到k的范围。

⑴设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意，

得

解得a=4，b²=3，故椭圆C的方程为-----------------------4分

⑵因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k(x—2)+1.

由，得（3+4k²）x²—8k(2k—1)x+16k²—16ｋ—8=0.①

因为直线l与椭圆相切，所以Δ=［—8k(2k—1)］²—4(3+4k²)（16k²—16k—8）=0.

整理，得32(6k+3)=0，解得k=—.

所以直线l方程为y=—(x—2)+1=—x+2.

将k=—代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为(1，).-----8分

⑶若存在直线l₁满足条件，设其方程为y=k₁(x—2)+1，代入椭圆C的方程，得

(3+4k²₁)x²—8k₁(2k₁—1)x+16k²₁—16k₁—8=0.

因为直线l₁与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，

所以Δ=［—8k₁（2k₁—1）］²—4（3+4k²₁）(16k²₁—16k₁—8)=32(6k₁+3)＞0.

所以k₁＞—.

x₁+x₂=，x₁x_2=.

因为·=即（x₁—2）（x₂—2）+（y₁—1）（y₂—1）=，

所以（x₁—2）（x₂—2）（1+k²₁）=｜PM｜²=.即［x₁x₂—2（x₁+x₂）+4］（1+k²₁）=.

所以［—2·+4］（1+k²₁）=，

解得k₁=±.     因为k₁＞—所以k₁₌.

于是存在直线l₁满足条件，其方程为y=x--------------------14分