Question

（本小题满分14分）

已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式.

（1）求，的值；

（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；

（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.

 

Answer 1

【答案】

（1），

 

（2）

 

在与上为增函数，在上为减函数；

（3）①而在处取得最小值，在处取得最大值．

②时，在与处取得最小值，在与处取得最大值．

③时，在处取得最小值，在处取得最大值．

【解析】本题主要考查了函数的基本性质，考查了分类讨论、函数与方程、数形结合数学思想方法，考查转化与化归的能力、逻辑推理能力。

（1），

．

（2）对任意实数，

．

当时，；

当时，．

故

在与上为增函数，在上为减函数；

（3）由函数在上的单调性可知，

在或处取得最小值或，而在或处取得最大值或．

故有

①而在处取得最小值，在处取得最大值．

②时，在与处取得最小值，在与处取得最大值．

③时，在处取得最小值，在处取得最大值．

点评：函数基本性质的考查是高考热点问题之一，从近几年的高考看，函数问题是高考中的重点考查内容之一，分值近40分左右，主要是考查函数解析式、定义域、值域（最值、参数取值范围）、函数的图象、单调性、奇偶性等性质，考查的函数也是常见的二次函数、指数对数函数为主，但会将这几种函数结合起来、将抽象函数与具体函数结合起来的趋势，这种命题的趋势在今后几年内继续保持。