题目内容

已知椭圆：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+
3
和2-
3
，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点．设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d，试求：当d=1时
1
a2
+
1
b2
的值．
（Ⅰ）∵椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+
3
和2-
3
，
∴2a=4，a=2，2c=2
3
，c=
3
，
∴椭圆的方程：
x2
4
+y2=1
（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等
（1）当P在y轴上时，易知R在x轴上，此时PR方程为
x
a
+
y
b
=1，d=1⇒
1
a2
+
1
b2
=1．
（2）当P在x轴上时，易知R在y轴上，此时PR方程为
x
a
+
y
b
=1，d=1⇒
1
a2
+
1
b2
=1．
（3）当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，P（x1，kx1）、R(x2，-
1
k
x2)
P在椭圆上，
1
x21
=
1
a2
+
k2
b2
①；
R在椭圆上，
1
x21
=
1
a2
+
1
k2b2
②
利用Rt△POR可得　d|PR|=|OP|•|OR|
即　(x1-x2)2+(kx1+
x2
k
)2=(
x21
+k2
x21
)(
x22
+
x22
k2
)
整理得　
k2
x22
+
1
x21
=1+k2．再将①②代入，得
1
a2
+
1
b2
=1
综上当d=1时，有
1
a2
+
1
b2
=1．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线C：y2=x，直线l：y=k（x-1）+1，要使抛物线C上存在关于对称的两点，求实数k的取值范围．
已知圆的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆的两条切线，切点分别为A1、A2，直线A1A2恰好经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线x=-1与椭圆相交于A、B两点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交定直线l：x=-4于两点Q、R，求证
OQ
•
OR
为定值．
已知椭圆C的中心在原点，焦点y在轴上，焦距为2
3
，且过点M(-
13
4
，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点N(
1
2
，1)的直线l交椭圆C于A、B两点，且N恰好为AB中点，能否在椭圆C上找到点D，使△ABD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
已知双曲线C1：x2-
y2
4
=1．
（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，
3
）的双曲线C2的标准方程；
（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当
OA
•
OB
=3时，求实数m的值．
如图，
ADB
为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若
EM
=λ1
MB
，
EN
=λ2
NB
，求证：λ1+λ2为定值．
已知直线l与椭圆
x2
36
+
y2
9
=1交于A和B两点，点（4，2）是线段AB的中点，则直线l的方程是______．
如图，已知圆E：（x+
3
）2+y2=16，点F（
3
，0），P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是轨迹Γ的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA|=|CB|，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．
如图，设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）长轴的右端点为A，短轴端点分别为B、C，另有抛物线y=x2+b．
（Ⅰ）若抛物线上存在点D，使四边形ABCD为菱形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若a=2，过点B作抛物线的切线，切点为P，直线PB与椭圆相交于另一点Q，求
|PQ|
|QB|
的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网