Question

9．设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），已知它的前10项和为110，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过2a₁+9d=22与a₂²=a₁a₄，进而计算即得结论；
（2）通过（1）、裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）设{a_n}的前n项和为S_n，
∵S₁₀=110，
∴2a₁+9d=22．                              …①
∵a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴a₂²=a₁a₄．                               …②
由①、②，解得：a₁=d=2，
∴a_n=2n；
（2）由（1）可知：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．