题目内容

在数列中,,且对任意.成等差数列,其公差为
(Ⅰ)若=,证明成等比数列(
(Ⅱ)若对任意成等比数列,其公比为。 证明:对任意,,有
(Ⅰ)证明:由题设,可得
所以
=
=2k(k+1)
=0,得
于是
所以成等比数列。
(Ⅱ)证法一:(i)证明:由成等差数列,及成等比数列,得
≠1时,可知≠1,k
从而
所以是等差数列,公差为1。
(Ⅱ)证明:,可得,从而=1.由(Ⅰ)有

所以
因此,
以下分两种情况进行讨论:
(1)  当n为偶数时,设n=2m()
若m=1,则.
若m≥2,则
+

所以
(2)当n为奇数时,设n=2m+1(


所以从而···
综合(1)(2)可知,对任意,,有
证法二:(i)证明:由题设,可得
所以

可知。可得
所以是等差数列,公差为1。
(ii)证明:因为所以
所以,从而。于是,由(i)可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ,故
从而
所以,由,可得

于是,由(i)可知
以下同证法一。
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