Question

已知的定义域为，且恒有等式对任意的实
数成立．
（Ⅰ）试求的解析式；
（Ⅱ）讨论在上的单调性，并用单调性定义予以证明．

Answer 1

（Ⅰ）f(x)=[2^(-x)-2^(x+1)]/3
（Ⅱ）函数在R上为减函数，证明见解析。

本试题主要是考查了求解函数的解析式，以及函数单调性的证明。
（1）的定义域为，且恒有等式对任意的实数成立．，那么可以得到方程组，消元法得到结论。
（2）设出变量，运用定义法证明单调性。
解：
1、2f(x)+f(-x)+2^x=0   …………1
2f(-x)+f(x)+2^(-x)=0   …………2
1式X2－2式得：
3f(x)+2^(x+1)-2^(-x)=0
即：f(x)=[2^(-x)-2^(x+1)]/3
2、设x1<x2 可得：
f(x1)-f(x2)
=[2^(-x1)-2^(x1+1)]/3-[2^(-x2)-2^(x2+1)]/3
=[2^(-x1)-2^(-x2)]/3+[2^(x2+1)-2^(x1+1)]/3
因：x1<x2 所以有：-x1>-x2 ,x1+1<x2+1
所以：2^(-x1)>2^(-x2)
2^(x2+1)>2^(x1+1)
即：f(x1)-f(x2)>0
所以此函数在R上为减函数！