Question

9．已知数列{a_n}的通项为a_n，前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差数列，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$的和；
（3）设数列{b_n}的前n项和为B_n，试比较$\frac{1}{{B}_{1}}$+$\frac{1}{{B}_{2}}$+…+$\frac{1}{{B}_{n}}$与2的大小（放缩法）

Answer 1

分析 （1）利用已知条件得出数列的通项和前n项和之间的等式关系，再结合二者间的基本关系，得出数列{a_n}的通项公式，根据{b_n}的相邻两项满足的关系得出递推关系，进一步求出其通项公式；
（2）利用错位相减法进行求解即可；
（3）利用放缩法转化各项是解决该问题的关键，将所求的各项放缩转化为能求和的一个数列的各项估计其和，进而达到比较大小的目的．

解答 解：（1）由题意可得2a_n=S_n⁺2，
当n=1时，a₁=2，
当n≥2时，有2a_n-1=s_n-1⁺2，两式相减，整理得a_n=2a_n-1，
即数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，故a_n=2ⁿ．
由点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，得出b_n-b_n+1+2=0，即b_n+1-b_n=2，
即数列{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
因此b_n=2n-1；
（2）由（1）可知$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
记T_n=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，
则T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$          ①
∴$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{5}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$       ②
①-②得 $\frac{1}{2}$Tn=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$；
（3）∵B_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²
∴$\frac{1}{{B}_{1}}$+$\frac{1}{{B}_{2}}$+…+$\frac{1}{{B}_{n}}$
=$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$
＜1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）×n}$
=1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=2-$\frac{1}{n}$＜2．

点评 本题考查等差数列、等比数列的判定问题，考查根据数列的递推关系得出数列通项公式的方法，考查数列的通项与前n项和之间的关系，考查数列求和的思想和方法，考查放缩法估计不等式的有关问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，属于中档题．