Question

17．如图，四边形ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD∥AQ，且AQ=AB=$\frac{1}{2}$PD，M为PC中点．
（1）求证：PD⊥QM；
（2）求二面角B-PQ-A大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理即可证明PD⊥QM；
（2）根据二面角的定义先求出二面角的平面角即可求二面角B-PQ-A大小的余弦值．

解答 证明：（1）取PD的中点N，连接MN，QN，
则MN∥CD，QN∥AD，
∵PD⊥面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD，
于是PD⊥MN，PD⊥QN，
∵MN∩QN=N，MN?面MNQ，QN?面MNQ，
∴PD⊥面MNQ，
∵QM?面MNQ，
∴PD⊥QM．
（2）延长PQ，DA交于E，过A作AF⊥EQ，交EQ于F，
连接BF，则易证∠AFB的二面角B-PQ-A的平面角，
不妨设AD=1，则由已知得AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
于是BF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则cos$∠AFB=\frac{AF}{BF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查空间线面垂直的性质定理的应用以及二面角的求解，根据二面角的定义求出二面角的平面角是解决本题的关键．