题目内容
4．在正三棱锥P-ABC中，若AB=PA=a，则侧棱PA与底面ABC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．分析 根据题意，画出图形，作出侧棱PA与底面ABC所成的角，利用三角形的边角关系求出对应的余弦值．
解答 
解：如图所示，
正三棱锥P-ABC中，AB=PA=a，
作PO⊥平面ABC，垂足为O，
连接AO，并延长交BC于点D，
∴∠PAD是PA与平面ABC所成的角，
且O是正三角形ABC的中心；
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AO=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴cos∠PAD=$\frac{AO}{PA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即侧棱PA与底面ABC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
点评 本题考查了直线与平面所成的角的计算问题，也考查了空间想象能力与三角形边角关系的计算能力，是基础题目．
练习册系列答案
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