Question

（2002•上海）已知函数f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）
（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）用反证法证明f（x）=0没有负数根．

Answer 1

分析：（1）由于函数f（x）=a^x+1-

3

x+1

，而函数 y=a^x（a＞1）和函数y=-

3

x+1

 在（-1，+∞）上都为增函数，可得函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
（2）假设f（x）=0有负数根为x=x₀＜0，则有ax0+1=

3

x0+1

①．分当x₀∈（-1，0）时、当x₀∈（-∞，-1）两种情况，分别根据

3

x0+1

和ax0+1 的范围，可得①根本不可能成立，综上可得假设不成立，命题得证．

解答：解：（1）由于函数f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）=a^x+1-

3

x+1

，
而函数 y=a^x（a＞1）和函数y=-

3

x+1

 在（-1，+∞）上都为增函数，
故函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
（2）假设f（x）=0有负数根为x=x₀，且x₀＜0，则有f（x₀）=0，故有ax0+1=

3

x0+1

 ①．
由于函数y=a^x+1在R上式增函数，且a⁰+1=2，∴ax0+1＜2．
由于函数y=

3

x+1

 在（-1，+∞）上是减函数，当x₀∈（-1，0）时，

3

0+1

=3，∴

3

x0+1

＞3，
∴①根本不可能成立，故①矛盾．
由于由于函数y=

3

x+1

在（-∞，-1）上是增函数，当x₀∈（-∞，-1）时，

3

x0+1

＜0，
而，ax0+1＞1，∴①根本不可能成立，故①矛盾．
综上可得，①根本不可能成立，故假设不成立，故f（x）=0没有负数根．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，用反证法证明不等式，属于中档题．