Question

（2002•上海）已知z、ω为复数，（1+3i）z为纯虚数，ω=

z

2+i

，且|ω|=5

2

，求ω．

Answer 1

分析：设z=m+ni（m，n∈R），代入（1+3i）z，由纯虚数概念可得m-3n=0①，代入ω=

z

2+i

，由|ω|=5

2

可得m²+n²=250②，联立可求得m，n，再代入可得ω．

解答：解：设z=m+ni（m，n∈R），
因为（1+3i）z=（1+3i）（m+ni）=m-3n+（3m+n）i为纯虚数，
所以m-3n=0①，
ω=

z

2+i

=

m+ni

2+i

=

(2m+n)+(2n-m)i

5

，
由|ω|=5

2

，得

(2m+n)2

25

+

(2n-m)2

25

=(5

2

)2，即m²+n²=250②
由①②解得

m=15 n=5

或

m=-15 n=-5

，
代入ω=

(2m+n)+(2n-m)i

5

可得，ω=±（7-i）．

点评：本题考查复数代数形式的运算、复数的基本概念，属中档题．