题目内容
【题目】已知正项数列
的前
项和为
，满足
.
（Ⅰ）（i）求数列的通项公式；
（ii）已知对于
，不等式
恒成立，求实数
的最小值；
（Ⅱ） 数列
的前项和为
，满足
，是否存在非零实数
，使得数列为等比数列？ 并说明理由.
【答案】(1) （
）
（
）
(2)见解析
【解析】
（1）（）由
知
，作差求得
，得到数列
为等差数列，求得.（）由等差数列前n项和公式得到
，对
取倒，得到
，裂项相消求得
，从而得到M的最小值. （Ⅱ）由（）可知，所以得到
，求解数列
得到
，检验
，所以不存在
.
解：（1）（）
时，
，又
，
当
时，
.
作差整理得：
，
，
数列
的等差数列，.
（）由（）知，
，
不等式
恒成立，
，
实数
的最小值是.
（2）由
，知，
，当时，
，
当时，
，
，
数列
是等比数列，
，
，与
矛盾，
不存在非零实数，使得数列为等比数列.
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【题目】已知某海滨浴场海浪的高度y（米）是时间t的（0≤t≤24，单位：小时）函数，记作y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：
t（h） | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y（m） | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 0.99 | 1.5 |
经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt＋b的图象．
（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？