Question

曲线y=sin（x-

π

4

）（0≤x≤

3π

4

）与坐标轴围成的面积是

2-

2

2

．

Answer 1

分析：将y=sin（x-

π

4

）展开，得当0＜x＜

π

4

时，函数值为负数；当

π

4

＜x＜

3π

4

时，函数值为负数．因此所求图形的面积为函数y=-sin（x-

π

4

）在区间[0，

π

4

]上的积分值，加上y=sin（x-

π

4

）在区间[

π

4

，

3π

4

]上的积分值所得的和．最后根据积分的计算公式和运算法则加以计算，可得所求图形的面积．

解答：解：∵y=sin（x-

π

4

）=sinxcos

π

4

-cosxsin

π

4

=

2

2

（sinx-cosx）
∴当0＜x＜

π

4

时，sinx＜cosx，函数值为负数；
当

π

4

＜x＜

3π

4

时，sinx＞cosx，函数值为正数．
因此，所求图形的面积为
S=

∫

π 4 0

[-sin（x-

π

4

）]dx+

∫

3π 4 π 4

sin（x-

π

4

）dx
=

2

2

[

∫

π 4 0

（-sinx+cosx）dx+

∫

3π 4 π 4

（sinx-cosx）]dx
=

2

2

[（cosx+sinx）

|

π 4 0

+（-cosx-sinx）

|

3π 4 π 4

]
=

2

2

[（

2

-1）-（-

2

）]=2-

2

2

故答案为：2-

2

2

点评：本题求函数在指定区间上的图象与坐标轴围成的面积，着重考查了定积分的计算公式和运算法则，以及三角函数恒等变形等知识，属于基础题．