Question

【题目】定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，则称f（x）在区间D上可被g（x）替代，D称为“替代区间”．给出以下问题：
①f（x）=x2+1在区间（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2+ 替代；
②如果f（x）=lnx在区间[1，e]可被g（x）=x﹣b替代，则﹣2≤b≤2；
③设f（x）=lg（ax2+x）（x∈D1），g（x）=sinx（x∈D1），则存在实数a（a≠0）及区间D1 ， D2 ， 使得f（x）在区间D1∩D2上被g（x）替代．
其中真命题是（ ）
A.①②③
B.②③
C.①
D.①②

Answer 1

【答案】C
【解析】解：在①中，∵f（x）=x2+1，g（x）=x2+ ，
∴对任意x∈（﹣∞，+∞），都有|f（x）﹣g（x）|=|1﹣ |= ≤1成立，
∴f（x）=x2+1在区间（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2+ 替代，故①正确；
在②中，由题意知：|f（x）﹣g（x）|=|lnx﹣x+b|≤1在x∈[1，e]上恒成立；设h（x）=lnx﹣x+b，则h′（x）= ，
∵x∈[1，e]，∴h′（x）≤0，∴h（x）在[1，e]上单调递减，
h（1）=b﹣1，h（e）=1﹣e+b，
1﹣e+b≤h（x）≤b﹣1，又﹣1≤h（x）≤1，
∴ ，解得e﹣2≤b≤2，故②错误；
在③中，若a＞0，解ax2+x＞0，得x＜﹣ 或x＞0，
可取D1=（0，+∞），D2=R，∴D1∩D2=（0，+∞），
可取x=π，则|f（x）﹣g（x）|=aπ2+π，
∴不存在实数a（a＞0），使得f（x）在区间D1∩D2 上被g（x）替代；
若a＜0，解ax2+x＞0得，x＜0，或x＞﹣ ，
∴可取D1=（﹣∞，0），D2=R，∴D1∩D2=（﹣∞，0），
取x=﹣π，则|f（﹣π）﹣g（﹣π）|=|aπ2﹣π|＞1，
∴不存在实数a（a＜0），使得f（x）在区间D1∩D2 上被g（x）替代．
综上得，不存在实数a（a≠0），使得f（x）在区间D1∩D2 上被g（x）替代，故③错误．
故选：C．
【考点精析】关于本题考查的函数的值，需要了解函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能得出正确答案．