题目内容
（2012•福建模拟）（1）选修4-2：矩阵与变换
已知向量
在矩阵M=
变换下得到的向量是
．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．
（2）选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为（4
，
），曲线C的参数方程为
（α为参数）．
（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
设实数a、b满足2a+b=9．
（Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求x的取值范围；
（Ⅱ）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．
已知向量
|
|
|
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．
（2）选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为（4
| 2 |
| π |
| 4 |
|
（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
设实数a、b满足2a+b=9．
（Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求x的取值范围；
（Ⅱ）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．
分析：（1）（Ⅰ）由条件可得
=
，由此求得m的值．
（Ⅱ）先求出 M-1=
，设曲线 y2-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是（x′，y′），可得
，代入曲线 y2-x+y=0化简得到结果．
（2）解：（Ⅰ）由点M的极坐标求得得点M的直角坐标为（4，4），从而得到直线OM的直角坐标方程．
（Ⅱ）由曲线C的参数方程化为普通方程为（x-1）2+y2=2，求得圆心和半径r，根据点M在曲线C外，可得点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r．
（3）把条件转化为|6-b|=2|a|，不等式|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，由此求得a的取值范围．
（Ⅱ）因为a，b＞0，可得 z=a2 b=a•a•b，利用基本不等式求得z的最大值．
|
|
（Ⅱ）先求出 M-1=
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（2）解：（Ⅰ）由点M的极坐标求得得点M的直角坐标为（4，4），从而得到直线OM的直角坐标方程．
（Ⅱ）由曲线C的参数方程化为普通方程为（x-1）2+y2=2，求得圆心和半径r，根据点M在曲线C外，可得点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r．
（3）把条件转化为|6-b|=2|a|，不等式|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，由此求得a的取值范围．
（Ⅱ）因为a，b＞0，可得 z=a2 b=a•a•b，利用基本不等式求得z的最大值．
解答：（1）解：（Ⅰ）因为
=
，
所以，
=
，即 m=1．…（3分）
（Ⅱ）因为M=
，所以 M-1=
．…（4分）
设曲线 y2-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是（x′，y′），
由
=
=
，…（5分）
所以
得
代入曲线 y2-x+y=0得 y′2=x′．…（6分）
由 （x，y）的任意性可知，
曲线 y2-x+y=0在矩阵 M-1对应的线性变换作用下的曲线方程为 y2=x．…（7分）
（2）解：（Ⅰ）由点M的极坐标为（4
，
）得点M的直角坐标为（4，4），
所以直线OM的直角坐标方程为y=x．…（3分）
（Ⅱ）由曲线C的参数方程
（α为参数）
化为普通方程为 （x-1）2+y2=2，…（5分）
圆心为A（1，0），半径为r=
．
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-
．…（7分）
（3）解：（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范围（-1，1）．…（4分）
（Ⅱ）因为a，b＞0，所以 z=a2 b=a•a•b≤(
)2=33=27，…（6分）
当且仅当a=b=3时，等号成立． 故z的最大值为27．…（7分）
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|
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所以，
|
|
（Ⅱ）因为M=
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|
设曲线 y2-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是（x′，y′），
由
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|
所以
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|
由 （x，y）的任意性可知，
曲线 y2-x+y=0在矩阵 M-1对应的线性变换作用下的曲线方程为 y2=x．…（7分）
（2）解：（Ⅰ）由点M的极坐标为（4
| 2 |
| π |
| 4 |
所以直线OM的直角坐标方程为y=x．…（3分）
（Ⅱ）由曲线C的参数方程
|
化为普通方程为 （x-1）2+y2=2，…（5分）
圆心为A（1，0），半径为r=
| 2 |
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-
| 2 |
（3）解：（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范围（-1，1）．…（4分）
（Ⅱ）因为a，b＞0，所以 z=a2 b=a•a•b≤(
| a+b+c |
| 3 |
当且仅当a=b=3时，等号成立． 故z的最大值为27．…（7分）
点评：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．属于中档题．
练习册系列答案
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