Question

5．已知函数f（x）=x²+1，且g（x）=f[f（x）]，G（x）=g（x）-2λf（x）．
（1）若λ=3，求函数G（x）的最小值；
（2）是否存在实数λ，使得G（x）在（-∞，-1]上为减函数，在（-1，0）上为增函数？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x）求g（x），再求G（x）解析式，利用换元法将函数转化为一元二次函数进行求解即可．
（2）求函数的导数，利用条件得到x=-1时，函数G（x）取得极小值，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．

解答 解：令t=x²+1，则t≥1，
g（x）=f[f（x）]=t²+1，G（x）=h（t）=t²-2λt+1
当λ=3时，G（x）=h（t）=t²-6t+1=（t-3）²-8，
∵t≥1，
∴当t=3时，函数G（x）取得最小值为h（3）=-8．
（2）G（x）=g（x）-2λf（x）=x⁴+2x²+2-2λx²-2λ=x⁴+（2-2λ）x²+（2-2λ），
若存在实数λ，使得G（x）在（-∞，-1]上为减函数，在（-1，0）上为增函数，
则x=-1时，函数G（x）取得极小值，
则G′（-1）=0，
G′（x）=4x³+2（2-2λ）x，
即G′（-1）=-4-2（2-2λ）=0，
解得λ=2，
此时G′（x）=4x³-4x=4x（x²-1），
由G′（x）＜0得x＜-1或0＜x＜1，此时函数单调递减，
由G′（x）＞0得x＞1或-1＜x＜0，此时函数单调递增，
满足条件G（x）在（-∞，-1]上为减函数，在（-1，0）上为增函数．

点评 本题主要考查函数最值的求解，以及函数单调性的判断，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键．体现了转化的数学思想，属于中档题．