Question

10．已知函数f（x）=x²+bx+c有两个零点0和-2
（1）求函数f（x）的解析式
（2）若f（x+1）≥2f（x）-6，求x的取值范围
（3）如果f（x）定义在[m，m+2]的最大值为φ（m），求φ（m）的解析式．

Answer 1

分析 （1）直接将x=0，x=-2代入f（x）=（x-x₁）（x-x₂），求出函数的解析式即可；
（2）根据函数f（x）的解析式得到不等式（x+1）²+2（x+1）≥2x²+4x-6，解出即可；
（3）先求出函数的对称轴，通过讨论m的范围，从而确定出Φ（m）的解析式即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+bx+c有两个零点0和-2，
∴f（x）=x（x+2）=x²+2x，
（2）若f（x+1）≥2f（x）-6，：
∴（x+1）²+2（x+1）≥2x²+4x-6
得：x²-9≤0，解得：-3≤x≤3；
（3）f（x）=（x+1）²-1，
开口向上，对称轴为x=-1，
所以最大值必在端点处取得．
只需比较f（m），与f（m+2）的大小即可
f（m+2）-f（m）=m²+4m+4+2m+4-（m²+2m）=4m+8，
当m≥-2时，Φ（m）=f（m+2）=m²+6m+8，
当m＜-2时：Φ（m）=f（m）=m²+2m．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质，函数的最值问题，是一道中档题．