题目内容
13.已知实数x满足不等式2(log2x)2-7log2x+3≤0(1)求实数x所满足的取值范围
(2)求函数f(x)=log2$\frac{x}{2}$•log2$\frac{x}{4}$的最值.
分析 (1)令log2x=t,解关于t的不等式2t2-7t+3≤0结合对数的性质可得答案;
(2)化简可得f(x)=(log2x)2-3log2x+2,由$\frac{1}{2}$≤log2x≤3结合二次函数区间的最值可得.
解答 解:(1)令log2x=t,则2t2-7t+3≤0,
解得$\frac{1}{2}$≤t≤3,即$\frac{1}{2}$≤log2x≤3,
由对数可得$\sqrt{2}$≤x≤8
∴实数x所满足的取值范围为[$\sqrt{2}$,8];
(2)化简可得f(x)=log2$\frac{x}{2}$•log2$\frac{x}{4}$
=(log2x-1)(log2x-2)
=(log2x)2-3log2x+2,
∵$\frac{1}{2}$≤log2x≤3,
∴当log2x=$\frac{3}{2}$时,函数取最小值-$\frac{1}{4}$;
当log2x=3时,函数取最大值2.
点评 本题考查对数不等式的解法,涉及函数的最值和对数的性质,属中档题.
练习册系列答案
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A. | $\frac{1}{7}$ | B. | 7 | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{4}{3}$ |