Question

设z=kx+y，其中实数x、y满足

x≥2 x-2y+4≥0 2x-y-4≤0

若z的最大值为12，则实数k=______．

Answer 1

作出不等式组

x≥2 x-2y+4≥0 2x-y-4≤0

表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，

其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）
设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得
①当k＜0时，直线l的斜率-k＞0，
由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，
此时，z_max=F（2，3）=2k+3或z_max=F（4，4）=4k+4
但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，
故此种情况不符合题意；
②当k≥0时，直线l的斜率-k≤0，
由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值
此时z_max=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意
综上所述，实数k的值为2
故答案为：2