Question

13．设m＞n≥0，证明：（2²ⁿ+1）|（2^2m-1）

Answer 1

分析 m＞n≥0，存在正整数k使得m=n+k．即2^m=2ⁿ•2^k，k≥1，于是${2}^{{2}^{m}}$-1=${2}^{{2}^{n}•{2}^{k}}$-1=$（{2}^{{2}^{n}}）^{{2}^{k}}$-1，即可证明．

解答 解：∵m＞n≥0，∴m-1≥n≥0，
∴存在正整数k使得m=n+k．
即2^m=2ⁿ•2^k，k≥1，
因此存在正整数k使得：${2}^{{2}^{m}}$-1=${2}^{{2}^{n}•{2}^{k}}$-1=$（{2}^{{2}^{n}}）^{{2}^{k}}$-1，
∴（2²ⁿ+1）|（2^2m-1）．

点评 本题考查了指数幂的运算性质、整除的理论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．