Question

2．已知直线l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，若l₂与l₂交点在椭圆2x²+y²=1上，则k₁•k₂=-2．

Answer 1

分析 通过联立两直线方程可知l₁与l₂交点为（$\frac{2}{{k}_{2}-{k}_{1}}$，$\frac{{k}_{2}+{k}_{1}}{{k}_{2}-{k}_{1}}$），并将其代入椭圆2x²+y²=1上，化简计算即得结论．

解答 解：依题意，联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+1}\\{y={k}_{2}x-1}\end{array}\right.$，
则l₁与l₂交点为（$\frac{2}{{k}_{2}-{k}_{1}}$，$\frac{{k}_{2}+{k}_{1}}{{k}_{2}-{k}_{1}}$），
∵直线l₁与l₂交点在椭圆2x²+y²=1上，
∴2（$\frac{2}{{k}_{2}-{k}_{1}}$）²+（$\frac{{k}_{2}+{k}_{1}}{{k}_{2}-{k}_{1}}$）²=1，
整理得：$\frac{{{k}_{2}}^{2}+{{k}_{1}}^{2}+2{k}_{1}{k}_{2}+8}{{{k}_{2}}^{2}{{+k}_{1}}^{2}-2{k}_{1}{k}_{2}}$=1，
∴${{k}_{2}}^{2}$+${{k}_{1}}^{2}$+2k₁k₂+8=${{k}_{2}}^{2}$+${{k}_{1}}^{2}$-2k₁k₂，
∴k₁k₂=-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．