Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A=AB=6，D为AC中点．

（1）求三棱锥C1﹣BCD的体积；

（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；

（3）求证：直线AB1∥平面BC1D．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）先根据△ABC为正三角形，D为AC中点，得到BD⊥AC，求出△BCD的面积；再根据C1C⊥底面ABC，根据体积公式求出三棱锥C1-BCD的体积；

（2）先根据A1A⊥底面ABC，得到A1A⊥BD，再结合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1．即可证平面BC1D⊥平面ACC1A1；

（3）连接B1C交BC1于O，连接OD，根据D为AC中点，O为B1C中点可得OD∥AB1，即可证：直线AB1∥平面BC1D．

（1）∵△ABC为正三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC，

由AB=6可知，CD＝3，BD＝ ，∴S△BCD＝CDBD＝.

又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6，∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6，

∴VC1BCD＝S△BCDC1C＝

（2）∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BD．

又BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC1A1．

又BD平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1．

（3）连接B1C交BC1于O，连接OD，

在△B1AC中，D为AC中点，O为B1C中点，所以OD∥AB1，

又OD平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D．