题目内容
【题目】在正方体ABCD-A1B1C1D中，M为DD1的中点，O为AC的中点，AB=2．
（I）求证：BD1∥平面ACM；
（Ⅱ）求证：B1O⊥平面ACM；
（Ⅲ）求三棱锥O-AB1M的体积．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）要证明线面平行，可先证明线线平行，连接BD,MO,根据三角形中位线的平行关系可证明
;（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判定定理，可证明线与平面内的两条相交直线垂直，即证明
和
；（Ⅲ）将四面体的体积转化为以三角形
当底面，AO是四面体的高的几何体的体积，这样易计算四面体的体积.
试题解析：（I）证明：
连结BD，设BD与AC的交点为O，
∵AC，BD为正方形的对角线，故O为BD中点；
连结MO，
∵O，M分别为DB，DD1的中点，
∴OM∥BD1，…（2分）
∵OM平面ACM，BD1平面ACM…（3分）
∴BD1∥平面ACM． …（4分）
（II）∵AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，且AC平面ABCD，
∴AC⊥DD1；且BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1B1…（6分）
OB1平面BDD1B1，∴B1O⊥AC，…（7分）
连结B1M，在△B1MO中 
∴
∴B1O⊥OM…（10分）
又OM∩AC=O，∴B1O⊥平面AMC； …（11分）
．（II） V=
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