Question

（2009•大连一模）已知函数f（x）=1-2sin²x在点（

π

4

，f(

π

4

)）处的切线为l，则直线l、曲线f（x）以及直线x=

π

2

所围成的区域的面积为（　　）

• A．

  3π2

  16

  -

  1

  2

• B．1-

  π2

  16

• C．

  π2

  16

  -

  1

  2

• D．2-

  π2

  5

Answer 1

分析：先利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式，利用导数求出该点的斜率，然后求出切点的坐标，得出切线的方程，最后根据定积分即可求出直线l、曲线f（x）以及直线x=

π

2

所围成的区域的面积．

解答：解：∵f（x）=1-2sin²x=cos（2x），f（

π

4

）=0，
∴切点坐标为了（

π

4

，0）．
又f′（x）=-2sin2x．∴f′（

π

4

）=-2，
切线的斜率 k=-2，∵切线方程为：y=-2（x-

π

4

），
即y=-2x+

π

2

，
所以直线l、曲线f（x）以及直线x=

π

2

所围成的区域的面积为：

∫

π 2 π 4

（cos2x+2x-

π

2

）dx=（

1

2

sin2x+x²-

π

2

x）

|

π 2 π 4

=

π2

16

-

1

2

．
故选C．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了定积分，属于中档题．