Question

19．如图所示是某组数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为$\frac{23}{2}$，ab=1（a，b∈R），则$\frac{a}{2}sin2x+bco{s}^{2}x-\frac{b}{2}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意先求出a、b的值，再化简$\frac{a}{2}sin2x+bco{s}^{2}x-\frac{b}{2}$，求出它的最大值．

解答 解：∵ab=1①，$\frac{a+11+13+（20+b）}{4}$=$\frac{23}{2}$②，
∴由①②解得a=b=1；
∴$\frac{a}{2}sin2x+bco{s}^{2}x-\frac{b}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴该式的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换与应用问题，是基础题目．