Question

7．已知椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}$=1（0＜b＜4），点C（8，0），直线AC和椭圆相交于不重合的两点A、B（直线AC不与x轴重合），从A点出发的光线经x轴反射后过点B，设A（m，n），如图所示．
（Ⅰ）写出直线AC的方程．
（Ⅱ）求证点B的坐标是（$\frac{5m-16}{m-5}$，-$\frac{3n}{m-5}$）．
（Ⅲ）求x轴上光线反射点D的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过点C（8，0）在椭圆外，及A（m，n），利用点斜式方程可得直线AC的方程；
（Ⅱ）联立直线AC及椭圆方程，结合A（m，n），再设B（x₀，y₀），通过韦达定理即可得结论；
（III）由对称性知点A关于x轴的对称点A′（m，-n）也在椭圆上，从而直线A′B与x轴的交点就是光线反射点D，计算可得直线A′B的方程，令其y=0即可．

解答 （Ⅰ）解：∵点C（8，0）在椭圆外，∴直线AC斜率存在．
∵A（m，n），∴直线AC斜率为$\frac{n}{m-8}$，
∴直线AC的方程是$y=\frac{n}{m-8}（x-8）$；
（Ⅱ）证明：由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{n}{m-8}（x-8）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
得（b²m²-16b²m+64b²+16n²）x²-16²n²x+16×64n²-16b²（m-8）²=0，
∵A（m，n）在椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}$=1上，∴$\frac{{m}^{2}}{16}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，即b²m²+16n²=16b²，
∴（80b²-16b²m）x²-16²n²x+16×64n²-16b²（m-8）²=0．
设B（x₀，y₀），则有${x}_{0}+m=\frac{1{6}^{2}{n}^{2}}{80{b}^{2}-16{b}^{2}m}$，
∴x₀=$\frac{1{6}^{2}{n}^{2}}{80{b}^{2}-16{b}^{2}m}-m$=$\frac{16（16{n}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}）-80{b}^{2}m}{80{b}^{2}-16{b}^{2}m}$=$\frac{16{b}^{2}-5{b}^{2}m}{5{b}^{2}-{b}^{2}m}$=$\frac{5m-16}{m-5}$，
∴${y_0}=\frac{n}{m-8}（{x_0}-8）=\frac{n}{m-8}（\frac{5m-16}{m-5}-8）=-\frac{3n}{m-5}$，
∴点B的坐标是（$\frac{5m-16}{m-5}$，-$\frac{3n}{m-5}$）；
（III）解：由椭圆的对称性知，点A关于x轴的对称点A′（m，-n）也在椭圆上．
根据光学知识，直线A′B与x轴的交点就是光线反射点D，如图所示．
∵A、B两点不重合，∴直线A′B的斜率为$\frac{-\frac{3n}{m-5}+n}{\frac{5m-16}{m-5}-m}=-\frac{n}{m-2}$，
∴直线A′B的方程是$y+n=-\frac{n}{m-2}（x-m）$，
∵直线AC不与x轴重合，∴n≠0，
∴在直线A′B的方程中令y=0，得x=2，
∴轴上光线反射点D的坐标为（2，0）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．