Question

（本小题满分14分）

如图，在四面体PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分别是PA，AC、CB、BP的中点．

(1)求证：D、E、F、G四点共面；

(2)求证：PC⊥AB；

(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，，求四面体PABC的体积．

 

Answer 1

【答案】

(1)只需证DG//EF； (2)只需证AB⊥面POC；（3）。

【解析】

试题分析：(1)依题意DG//AB……1分，

EF∥AB…2分，

所以DG//EF……3分，

DG、EF共面，从而D、E、F、G四点共面……4分。

(2)取AB中点为O，连接PO、CO……5分

因为PA=PB， CA=CB，所以PO⊥AB，CO⊥AB……7分，

因为PO∩CO=D，所以AB⊥面POC……8分

PC面POC，所以AB⊥PC……9分

(3)因为△ABC和PAB是等腰直角三角形，所以…10分，

因为所以OP⊥OC……11分，

又PO⊥AB，且AB∩OC=O，所以PO⊥面ABC……12分

……14分（公式1分，其他1分）

考点：平面的基本性质与推理；线面垂直的性质定理；棱锥的体积公式。

点评：第三问，把三棱锥P-ABC体积的求法转化为求棱锥A-POB和棱锥B-POC的体积之和是解决问题的关键。